الموضوع النموذجي 3 · رياضيات العام (النوفيام)

لكلّ سؤال من أسئلة هذا التمرين ثلاث إجابات مقترحة، واحدة فقط منها صحيحة. أنقل على ورقة تحريرك رقم السؤال والحرف الموافق للإجابة الصحيحة.

1. x رقم. العدد 3x52 يقبل القسمة على 3 وعلى 4 في حالة x يساوي:
   أ) 1ب) 5ج) 7
2. نرمي حجر نرد متوازنًا أوجهه مرقّمة من 1 إلى 6. احتمال الحصول على عدد أوّلي هو:
   أ) ⁦1/3⁩ب) ⁦2/3⁩ج) ⁦1/2⁩
3. العدد ⁦(√3)⁴ × 3⁻³⁩ يساوي:
   أ) ⁦1/3⁩ب) 3ج) ⁦1/9⁩

نعتبر العددين ⁦a = 1/(√5 − 2)⁩ و ⁦b = √5 − 2⁩.

1. بيّن أنّ ⁦a = √5 + 2⁩.
2. أ) بيّن أنّ ⁦(√5 − 2)² = 9 − 4√5⁩.
   ب) استنتج أنّ ⁦√(9 − 4√5) = b⁩.
3. احسب ⁦a + b⁩ و ⁦a × b⁩، ثمّ استنتج أنّ ⁦a² + b² = 18⁩.

(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر). ABCD مربّع طول ضلعه 10. x عدد حقيقي حيث 0 < x < 10. نعيّن النقاط M من [AB] و N من [BC] و P من [CD] و Q من [DA] بحيث AM = BN = CP = DQ = x. نقبل أنّ الرباعي MNPQ مربّع، ونرمز بـ S(x) إلى مساحته.

1. بيّن أنّ ⁦QM² = 2x² − 20x + 100⁩، ثمّ استنتج أنّ ⁦S(x) = 2x² − 20x + 100⁩.
2. بيّن أنّ ⁦S(x) = 2(x − 5)² + 50⁩، ثمّ استنتج أنّ ⁦S(x) ≥ 50⁩ وحدّد موضع النقطة M الذي تكون فيه مساحة MNPQ أصغر ما يمكن.
3. أ) بيّن أنّ ⁦S(x) − 58 = 2(x − 3)(x − 7)⁩.
   ب) جد قيم x التي تكون من أجلها ⁦S(x) = 58⁩.
4. أ) حلّ في ℝ المتراجحة ⁦|x − 5| ≤ 3⁩.
   ب) استنتج قيم x التي تكون من أجلها مساحة MNPQ أصغر من أو تساوي ⁦68 cm²⁩.

(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر). ζ دائرة مركزها O وقطرها ⁦[AB]⁩ حيث ⁦AB = 10. C⁩ نقطة من ζ حيث ⁦AC = 2√5⁩.

1. بيّن أنّ المثلث ABC قائم في C ثمّ احسب BC.
2. لتكن H المسقط العمودي للنقطة C على (AB).
   أ) بيّن أنّ ⁦AH = 2⁩.
   ب) احسب HB ثمّ CH.
3. لتكن E النقطة المقابلة قطريًا للنقطة C على الدائرة ζ. بيّن أنّ الرباعي ACBE مستطيل ثمّ احسب مساحته.
4. لتكن I منتصف ⁦[BC]⁩. المستقيم (AI) يقطع ⁦[CO]⁩ في G.
   أ) بيّن أنّ G مركز ثقل المثلث ABC.
   ب) احسب CG.

(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر). ABCDEFGH مكعّب طول حرفه 4.

1. احسب AC ثمّ AG.
2. بيّن أنّ المستقيم (BD) عمودي على المستوي (ACG)، ثمّ استنتج أنّ (BD) ⊥ (AG).
3. احسب حجم الهرم GABD الذي رأسه G وقاعدته المثلث ABD، ثمّ بيّن أنّه يساوي سدس حجم المكعّب.